公式に頼るのもあり!?中学受験の算数で使える裏ワザ的な公式一覧

直角三角形の斜辺を1辺とする正方形の面積は、何cm²でしょうか？

まぁ、この問題は、三平方の定理を使わないと逆にどうやって解くんだ?!

といった感じですが、中学受験の算数では、一般的な学校教育では習わないものの、入試という限った場面で有効な公式（解法）が存在します。

そこで今回は、「この公式、知っておいてよかった！」と、子どもがつぶやいていた公式（解法）をいくつかまとめてみました。

葉っぱの形の面積について

この図形を求める場合、90度のおうぎ形２つ分から、正方形の面積を引く方法があります。

$$ \begin{aligned} 10 \times 10 \times \frac{2}{4} \times 3.14 – 10 \times 10 &= 157 – 100 \\ &= 57\,\text{cm}^2 \end{aligned} $$

ただ、このような計算をするまでもなく、この面積を求める公式があります。

この公式は、円周率が3.14である場合にのみ使用できます。

ヒポクラテスの三日月について

「ヒポクラテスの三日月」とは、直角三角形の各辺を直径とする半円を描いたときにできる、三日月形（ルーン）の面積が、もとの直角三角形の面積と等しくなるという、古代ギリシャの数学者ヒポクラテスに由来する有名な幾何学的原理です。

底辺5cm、高さ12cm、斜辺13cmの直角三角形の各辺を直径とする半円を描いた図形において、赤く着色されている部分（三日月形）の面積を求めなさい。ただし、円周率は3.14とする。

本来であれば、

（（直径5cmの）半円の面積 ＋ （直径12cmの）半円の面積 ＋ 直角三角形の面積） － （直径13cmの）半円の面積

の計算をする必要がありますが、ヒポクラテスの三日月の公式（原理）を使えば、直角三角形の計算をするだけで答えがでます。

$$ 5 \times 12 \div 2 = 30\,\text{cm}^2 $$

台形の蝶々型について

台形に２本の対角線を引くと、内部が４つの三角形に分割されます。

このときの構図が蝶のように見えることから「台形の蝶々型」などと呼ばれ、中学受験では頻出の図形になります。

たとえば、次のような形で出題されます。

三角形AEDと三角形ABEと三角形EBCの面積比を求めよ

AD=6cm、BC=9cmのため、相似比は２：３より、次のように計算できます。

$$ \begin{aligned} &\triangle AED\ （a^2）、\quad \triangle AEB\ （ab）、\quad \triangle EBC\ （b^2） \\ &\text{となるので面積比は、 } 4 : 6 : 9 \end{aligned} $$

断頭三角柱について

断頭三角柱（だんとうさんかくちゅう｜切頭三角柱）とは、三角柱の上または下を斜めに切った立体になります。

こちらも、中学受験では頻出の図形となり、以下の様な公式があります。

三角柱を１つの平面で切断した下記の立体の体積を求めよ

この問題は、元の三角柱の体積から、切り取った四角錐（しかくすい）の体積を引くことで求めることが出来ますが、四角錐の面積を計算するのが面倒です。

そのため、底面積×（３辺の平均の高さ）の公式を使うと、このように計算できます。

$$ \begin{aligned} V &= \left( \frac{12 \times 6}{2} \right) \times \frac{6 + 7 + 8}{3} \\ &= 36 \times 7 \\ &= 252\,\text{cm}^3 \end{aligned} $$

底面積として使用できるのは、側面に垂直な平面となるのでご注意ください。

まとめ

他にも、中学受験で覚えておくと役に立つ公式はいくつかあると思いますが、図形問題が苦手なわが子が「これは役に立った」と言っていたものを集めてみました。

なお、鶴亀算・流水算・和差算といった特殊算については、表や線分図、面積図などで解くらしく、公式として意識したことはないらしい──です。

基本的には、公式に頼るのではなく、考え方の本質を理解することが大切だと思います。

ただ、「裏技」的な公式が、子どものやる気を引き出すこともあるので、使うかどうかは別として、知っておくとよいのではないでしょうか。